لماذا لا يمكن حل معادلة شرودنغر بالضبط من أجل ذرات الإلكترونات المتعددة؟ هل يوجد حل ما حتى من حيث المبدأ؟

من المعروف أنه يمكن حل معادلة شرودنجر بالضبط فقط لأبسط الأنظمة - مثل ما يسمى بنماذج الألعاب (الجسيمات في صندوق ، إلخ) ، وذرّات الهيدروجين. و لا للأنظمة المعقدة نسبيًا ، مثل ذرة هيليوم والأنظمة الأخرى متعددة الإلكترونات.


كنت أحاول الوصول إلى سبب ذلك لفترة طويلة ، ويبدو أن له علاقة بواحد أو أكثر من هذه الأشياء -

  1. التأثيرات الترابطية بين الإلكترونات كما هو الحال في الإلكترونات التي تحاول أن تشغل المواقف المقابلة لبعضها البعض مع النواة فيما بينها.
  2. نوع من كتيب كمومي بسبب التشابك.
  3. ظهور "عبارات متبادلة" لا يمكن فصلها في تعبير هاميلتوني.
  4. كما هو موضح في 3 أعلاه ، لا يمكننا معرفة حقيقة أننا لا نعلم (من نظريتنا) الطاقة الكلية للنظام (في حين أننا نجعل النموذج) ، و ti الحوسبة و poten tial تعتمد الطاقات على بعضها البعض ، لذلك لا يمكننا في الواقع العثور على أي منها.

بعض المراجع المذكورة أعلاه

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_(quantum_mechanics)# Many_particles </لى>

ومع ذلك ، يمكن أن تنشأ مضاعفات في مشكلة العديد من الجسم. وبما أن الطاقة الكامنة تعتمد على الترتيب المكاني للجسيمات ، فإن الطاقة الحركية ستعتمد أيضًا على التكوين المكاني للحفاظ على الطاقة. تختلف الحركة الناتجة عن أي جسيم واحد بسبب حركة جميع الجسيمات الأخرى في النظام ... بالنسبة للجسيمات المتفاعلة N ، أي الجسيمات التي تتفاعل بشكل متبادل وتشكل حالة العديد من الجسم ، فإن دالة الطاقة المحتملة V ليست ببساطة مجموع من الإمكانات المنفصلة (وبالتأكيد ليس منتجًا ، لأن هذا غير صحيح الأبعاد). يمكن فقط كتابة دالة الطاقة المحتملة على النحو الوارد أعلاه: دالة لكل المواضع المكانية لكل جسيم.

  1. و https://chem.libretexts.org/Textbook_Maps/Physical_and_Theoretical_Chemistry_Textbook_Maps/Book٪3A_Quantum_States_of_Atoms_and_Molecules_(Zielinksi_et_al.)/09._The_Electronic_States_of_the_Multielectron_Atoms/9.1٪3A_The_Schrödinger_Equation_For_Multi-Electron_Atoms </لى>

لسوء الحظ ، فإن شروط تنافر كولم تجعل من المستحيل إيجاد حل دقيق لمعادلة شرودنغر بالنسبة إلى العديد من ذرات الإلكترونات والجزيئات حتى لو كان هناك إلكترونان فقط. تتضمن أكثر التقديرات الأساسية للحلول الدقيقة كتابة دالة موجات متعددة الإلكترون كمنتج بسيط من الموجات الإلكترونية أحادية الإلكترون ، والحصول على طاقة الذرة في الحالة التي وصفها هذا الموجة كمجموع طاقات الإلكترون الواحد المكونات.

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_quantum-mechanical_systems_with_analytical_solutions </لى>

في كثير من الأحيان ، لا يمكن العثور إلا على حلول عددية لمعادلة شرودنغر لنظام مادي معين والطاقة المرتبطة به. ومع ذلك ، هناك مجموعة فرعية من الأنظمة المادية التي يمكن العثور على شكل من أشكال eigenfunctions والطاقات المرتبطة بها.

  1. و https://en.wikipedia.org/wiki/Many-body_problem </لى>

المشكلة متعددة الأجسام هي اسم عام لفئة كبيرة من المشاكل الجسدية المتعلقة بخصائص الأنظمة الميكروسكوبية المصنّعة من عدد كبير من الجسيمات المتفاعلة ... في مثل هذا النظام الكمومي ، تُنتج التفاعلات المتكررة بين الجسيمات الكم الارتباطات ، أو التشابك. ونتيجة لذلك ، فإن الدالة الموجية للنظام هي عبارة عن كائن معقد يحتوي على كمية كبيرة من المعلومات ، مما يجعل الحسابات الدقيقة أو التحليلية غير عملية أو مستحيلة.


لقد كنت أحاول معرفة هذه الأمور لسنوات ، ولكن بالرغم من كل المعلومات المتاحة ، لا يزال لدي سؤال لا يمكنني العثور على إجابة له -

ما هو السبب الأساسي وراء عدم قدرتنا على حل معادلة شرودنغر للذرات متعددة الأوتار - هل هي في الواقع قابلة للحل من أجل حلها (أي دليل؟) أو هل نحن غير جيدين بما فيه الكفاية في الرياضيات؟ لنفترض أننا استمرنا في محاولة حل هذه المشكلة ، فهل يمكن لشخص ما توضيح ما إذا كان يمكن إيجاد حل من حيث المبدأ؟


ملاحظات-

  1. أعلم أن هناك مشكلات أخرى مشابهة مثل مشكلة الجسد الثلاثة في علم الميكانيكا الكلاسيكية وسيكون من الرائع أن تلمسها الإجابة أيضًا.

  2. الأسباب التي أدرجتها ليست شاملة على أي حال ، فهي فقط ما حدث في رأسي حيث أن بعض الاختلافات في "الرياضيات صعبة للغاية". التي رأيتها على مر السنين.

18
أود أن أوصي كتاب Landau-Lifschitz على ميكانيكا الكم لأنها تفسر هذه الأشياء ، وكان لانداو أيضا على دراية جيدة في الفيزياء الجزيئية لأسباب واضحة.
وأضاف المؤلف BG100, مصدر
لدي ذاكرة غامضة تخبرني أن هناك حل دولار \ mathrm {H} _2 ^ + $ أيون جزيئي (مشكلة أخرى ثلاثية الجسد). العثور عليه: arxiv.org/abs/1508.01359 . هذا يختلف عن المشكلة هنا في أن اثنين من الأشياء الثقيلة. هممم ... لا أستطيع العثور على دليل على نشر مراجعة الزملاء لذلك.
وأضاف المؤلف aceinthehole, مصدر
أقوم بالتصويت لإغلاق هذا السؤال لأنه لا يحدّد نفسه بوضوح من الخيوط الموجودة ، ولأنه ليس واضحًا في ما يطلبه. من الأهمية بمكان أن يميز هذا السؤال بين وجود الحلول وقدرتنا البشرية على إيجادها. حقيقة أن الحلول "موجودة" هي حقيقة أساسية لميكانيكا الكم ، وتنتقل من النظرية الطيفية ، ولكن هذا لا يبدو أن ما كنت بعد - يبدو أنك تريد نوعا من "الدقيق" أو "الإنسان" "حل ،" ولكن السؤال لا يحدد تلك الطبقة ، وتعريف دقيق أمر بالغ الأهمية هنا.
وأضاف المؤلف Nathan Feger, مصدر
وأضاف المؤلف rinogo, مصدر
لا توجد مشكلة للوصول إلى أسفل ، بقدر ما أشعر بالقلق. تكمن المشاكل في الفصول الحاسوبية التي تجعلها ، من الناحية العملية ، غير قابلة للحل (تمنع اكتشاف مذهل في الرياضيات أو الحساب).
وأضاف المؤلف rinogo, مصدر
وأضاف المؤلف rinogo, مصدر
كيف كبير كبير؟ إذا كان الحجم كبيرًا ، على سبيل المثال ، مليون سنة (وهناك الكثير من مشاكل الرياضيات البسيطة التي تسفر بسرعة عن وقت جري كبير في أي نظام يمكن تخيله) ثم إنه غير قابل للحل فعلي (مع كل الاحترام الواجب لدوغلاس آدمز :-)).
وأضاف المؤلف rinogo, مصدر
الموارد الحاسوبية اللامنتهية عبر الزمن اللامحدود يبدو نفس الشيء مثل "غير قابل للحل" و "لا يوجد حل" بالنسبة لي من الناحية العملية ، والفيزياء ، بقدر ما يهمني ، تتعلق بالتطبيقات العملية. قد يكون هناك معنى رياضي رسمي حيث يكون هذا "قابلاً للحل" و "يحتوي على حل" لكل ما أعرفه ، لكنني لا أرى مدى فائدة ذلك في الفيزياء.
وأضاف المؤلف rinogo, مصدر
تشير إجابة واحدة لهذا السؤال إلى أن المشكلة هي NP Complete وأن جزءًا آخر من المشكلة هي QMA Complete . هذه ، بشكل أساسي ، معقدة للغاية لدرجة أنها غير قابلة للحل.
وأضاف المؤلف rinogo, مصدر
DevashishKaushik ليس لها علاقة بأي نوع من نظرية الاضطراب ، ولا هي مشكلة وجود بعض الحلول "المغلقة" أو "التحليلية". الوظائف نفسها غير موجودة ، على الصعيد العالمي (فهي موجودة محليًا في حي صغير بما يكفي من الظروف الأولية). إنها في الواقع مرتبطة بالفوضى: هناك مسارات ذات ظروف أولية مختلفة للغاية يمكن أن تصبح قريبة بشكل تعسفي في وقت ما ، ولكن ليس لدي الكتاب في متناول اليد ولا أتذكر هذا الموضوع بشكل جيد بما يكفي لكتابة إجابة مناسبة . يمكنك محاولة طرح السؤال على math.stackexchange.
وأضاف المؤلف Manuel Hoffmann, مصدر
أعتقد أن الكلمات الرئيسية ذات الصلة هنا هي "النظام المتكامل" ، و "نظرية ليوفيل في التكامل الكامل" و "إحداثيات زاوية العمل". مشكلة n-body هي مثال لنظام hamiltonian غير متكامل.
وأضاف المؤلف Manuel Hoffmann, مصدر
إن حل مشكلة n-body في الميكانيكا الكلاسيكية أمر مستحيل رياضياً ، إذا كنت تعني "بحل" تعني "العثور على وظيفة سلسة من المواقف الأولية والسرعات ووقت المحاكاة الذي يخرج تطور النظام". لا أتذكر التفاصيل ، لكني أعتقد أن كتاب V.Arnold's "الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية" يناقش الأفكار الرئيسية لهذه النظرية. أعتقد أن مشكلة الكم-الجسم ستكون غير قابلة للحل لأسباب مماثلة ، على الرغم من عدم وجود مرجع. إذا كانت جميع الجسيمات مختلفة جسديًا ، فإن حد $ \ hbar \ to 0 $ سيعطي حلاً كلاسيكيًا ، تناقضًا.
وأضاف المؤلف Manuel Hoffmann, مصدر
StephenG "منع اكتشاف مذهل في الرياضيات أو الحساب". أنا أسأل أساسا ما إذا كانت طبيعة المشكلة تسمح مثل هذا الاكتشاف في المقام الأول. وأنت لم تجب على السؤال - كيف هذا السؤال مكرر؟
وأضاف المؤلف Devashish Kaushik, مصدر
StephenG نعم ، لكن في هذه الحالة لا أفهم ما هي المشكلة التي تثير السؤال - هل هي نسخة مكررة (أوضحت مرارًا كيف أنها مختلفة) ، أو هل تظن أنها تموت بغض النظر عن الإجابة على السؤال هو ويجب علينا فقط إغلاقه لأي سبب من الأسباب يمكن أن نعطيها والمضي قدما؟ ما الخطأ في محاولة الوصول إلى قاع هذه القضية؟
وأضاف المؤلف Devashish Kaushik, مصدر
StephenG تغيير ذلك إلى "موارد حاسوبية كبيرة على مدى وقت طويل" ، وترى التطبيق العملي. وجهة نظري هي أن سؤالي هو بالأساس - عندما نستخدم مقاربات تقريبية ونقول أنه من غير الممكن حل المعادلة ، فنحن فقط لسنا رياضين جيدًا بما يكفي لإيجادها أو لا يوجد حل لإيجادها؟ أعتقد أنه سؤال طبيعي تمامًا ، وإذا كان هناك شخص في تبادل مكدس يمكنه تقديم إجابة ، فمن الأفضل السماح لهم بذلك.
وأضاف المؤلف Devashish Kaushik, مصدر
StephenG وينطبق الشيء نفسه على اعتراضك. نعم ، المشكلة صعبة حسابياً ، ولكن هل يوجد حل يمكن العثور عليه إذا استخدمنا موارد حاسوبية لا نهائية على مدى غير محدود؟ يقول إيميليو إنه يفعل ذلك ، في حين يقول أنطون إنه لا يفعل ذلك - وهذا هو السبب في أن هذا السؤال ضروري.
وأضاف المؤلف Devashish Kaushik, مصدر
EmilioPisanty هذا بالضبط ما أسأله - "هل يوجد حل حتى من حيث المبدأ؟" ، "هل من المستحيل حل هذه المشكلة أم أننا غير جيدون بما فيه الكفاية في الرياضيات؟" أنا أسأل ما إذا كان الحل موجود بأي شكل من الأشكال ، وإذا كان يفعل ما إذا كنا نستطيع العثور عليه إذا كنا جيدًا بما فيه الكفاية في الرياضيات. هذا شيء لا تعالج إجاباته للأسئلة الموجودة. إذن ، هذا السؤال ليس مفيدًا فحسب ، ولكنه ضروري أيضًا ، ويجب أن لا يكون مغلقًا.
وأضاف المؤلف Devashish Kaushik, مصدر
Anton Fetisov لقد عثرت على الكتاب الذي ذكرته وألقينا نظرة على التذييل ذي الصلة (على ما يبدو) 8. ومع ذلك ، فإن طول الكتاب يعني أن الأمر سيستغرق وقتًا طويلاً. ومع ذلك ، يمكن أن تقدم إجابة رائعة إذا كان بإمكانك توضيح ما إذا كانت النتيجة تعني عدم وجود مثل هذه "الوظيفة الناعمة كحل رياضي" أو إذا كانت عبارة عن نموذج من نمذجة التقلبات الفوضوية الفوضوية دون أن يكون لديك معرفة بالوظيفة غير المعروفة من قبل ( ) المطلوبة للحصول على حل دقيق.
وأضاف المؤلف Devashish Kaushik, مصدر
StephenG هذا قريب جداً ، لكن الإجابات هناك تتعامل مع القيود (الحوسبة والنظرية المادية) التي تجعل الحل صعبًا. أنا مهتم بما إذا كان هناك في الواقع بعض الحلول التي يمكن العثور عليها من حيث المبدأ بالإضافة إلى الصعوبات في العثور عليها. سي ، أعتقد أن سؤالي مختلف.
وأضاف المؤلف Devashish Kaushik, مصدر

7 إجابة

لا شيء من هذه هي بالفعل إجابات "جيدة". سوف اتفق. علاوة على ذلك ، إنه في الحقيقة سؤال ينتهي به المطاف إلى اللمس في الرياضيات الفوقية ، أكثر من الفيزياء.

لست متأكداً من أنه يمكن للمرء أن يفرض سبباً محدداً ، غير السبب العام جداً الذي لا يمكن أن تحل به المعادلات المعقدة بشكل مناسب تماماً كمبدأ عام. ولكني أعتقد أن التفسير الوارد أدناه ، رغم أنه ليس جوابًا صلبًا أو ثابتًا ، من المحتمل أن يكون كافياً.

إحدى الطرق التي يمكنك أن تفكر بها هي أنه لا يوجد سوى عدد محدود من العمليات التي لدينا لحل التعبير عن للمعادلات ، ولكن عدد لا حصر له من وظائف الحل الفعلية الممكنة - على الرغم من أنني لا أعتقد ذلك تماما يحصل على ذلك ، إما لأنه يمكنك الجمع بين وظائف "التعبير" في عدد لا حصر له من الطرق. ربما أفضل طريقة للقول أنه عندما نذهب إلى حل المعادلات "بالضبط" ما نتحدث عنه هو التعبير عنهم من حيث تكوين عدد محدود من الوظائف "الأساسية" التي نعتبرها "مقبولة" - دائمًا ما يشمل على الأقل الوظائف الأولية ، وهي تلك التي تتكون من الوظائف الثابتة ، العمليات الحسابية الأربعة (+ ، - ، * ، /) ، والأسي ($ \ exp $) واللوغاريتمية تعمل ($ \ log $) على المجال المعقد ($ \ mathbb {C} $) ، ويتم أخذ إغلاق هذه المجموعة تحت التكوين الوظيفي ($ \ circ $). قد نقوم أيضًا بتضمين بعض الدوال "الخاصة" غير الأولية بالإضافة إلى وظيفة غاما ($ \ Gamma $) أو وظيفة الخطأ ($ \ mathrm {erf} $ ، جزء لا يتجزأ من Gaussian).

And effectively what happens is that these do not provide us with enough "degrees of freedom", so to speak, to express all functions of suitable generality. While I'm not sure of a result that proves this for the general composition operator, a very similar result along this line is the fact that the space of all differentiable (say) functions - like those that come out as solutions to a differential equation like Schrodinger - is algebraically infinite-dimensional, that is, the cardinal of any Hamel basis is infinite, meaning that if we want to express any differentiable function as a linear combination

$$ f (x) = a_0 f_0 (x) + a_1 f_1 (x) + \ cdots + a_N f_N (x) $$

وظائف أساس $ f_j $، فإننا في الواقع بحاجة إلى أساس مع مجموعة <�م> كثير بلا حدود مستقلة </م> وظائف يمكننا سحب $ f_j $ من (أي أنها لا يمكن التعبير عنها من حيث بعضها البعض) لتكون قادرة على لديها ما يكفي من القوة للتعبير عن كل وظيفة مختلفة $ f $ على هذا النحو. (ويسمى مثل مجموعة أساس هامل.) لنظرية الكم من الذرات، وهذا هو أكثر مباشرة، و<�م> هو </م> إلى أبعاد لا نهائية من فضاء هلبرت.

وبالمثل ، أشك بشدة في حدوث شيء مشابه عندما نسمح بالتشكيل العام كذلك - فهو لا يوفر لنا ما يكفي من القوة ، لكنني لا أعرف أي دليل.

ومع ذلك ، فإن هذا لا يجيب على السؤال بشكل أكثر تحديدًا لسبب أن مجموعة تقييد أكثر من الوظائف ، مثل حلول نوع معين للمعادلة التفاضلية - وفي ولا يمكن التعبير عنها بتكوين مناسب لمجموعة "لطيفة" من الوظائف الأساسية. بعد كل شيء ، من المعروف أن المعادلات التفاضلية ذات المعامل الثابت الخطي لها مجموعة حلول صريحة تماما. العديد من المعادلات التفاضلية محددة جدا لديها مجموعات مماثلة. على الرغم من أن النقطة الرئيسية قد تكون أن معادلة شرودنجر تقدم حرية لا نهائية بفعالية من خلال اختيار الوظيفة المحتملة $ U (\ mathbf {r}) $ ، وعمومها مشغل هاميلتون $ \ hat { H} $.

ومع ذلك ، مع جدًا مجموعة المعلمات المقيدة ، على سبيل المثال ذرات بشكل محدد للغاية ، قد يكون هناك بالفعل مجموعة محدودة من المهام غير المحدودة أو التي يمكن وصفها بسهولة والتي يمكن أن توفر مناسبة مجموعة الأساس. نحن لا نعرف ، حتى الآن ، ما هي "وظائف الذرة" أو كيفية وصفها.

13
وأضاف
DevashishKaushik: لا ، إنه أبسط من ذلك. الحلول التي تتحدث عنها هي ببساطة ليست شائعة بما يكفي لاستحقاق اسم ، بدلا من قول الأسي ، الدوال المثلثية ، أو وظيفة الخطأ.
وأضاف المؤلف beaker, مصدر
لاحظ أنه حتى $ $ exp $ و $ log $ يتم حسابهما بفعالية من خلال سلسلة الطاقة الخاصة بهما وستحصل دائمًا على نتائج تصل إلى دقة مسبقة - باستثناء بعض الحالات الخاصة. لا يمكن التعبير عن $ erf $ مرة أخرى مباشرة عبر $ exp $ و $ log $ ولكن تبين أنه مفيد في الكثير من الحلول التي نعرّفها كوظيفة خاصة. يمكن تعريف حلول n-electron Hamiltonian كذلك لتوصيف بعض الوظائف الخاصة ولكن لا يمكن إعادة استخدامها في الكثير من الأشياء الأخرى حتى لا نتعرض للعناء.
وأضاف المؤلف Sean, مصدر
إذاً ، هل صحيح أن نقول أننا لم نقم بالرياضيات الكافية لمعرفة كيفية كتابة الحل ، ولكن بما أننا قمنا بالكثير من الرياضيات ، فنحن نفترض أن الشيء المكتوب سيصبح معقدًا للغاية (بما أننا لم نعثر على الأشخاص العمليين حتى الآن) ونلتزم بالأمور التقريبية بدلاً من إضاعة الوقت في محاولة حلها أكثر صعوبة مما فعلنا من قبل.
وأضاف المؤلف Devashish Kaushik, مصدر

المشكلة ليست فريدة على الإطلاق بالنسبة لمعادلة شرودنغر ، إنها سمة شائعة في المعادلات التفاضلية. نفس الشيء يحدث في كل مكان في الكهرومغناطيسية الكلاسيكية. ولكن القول أيضاً بأنه لا يوجد حل "دقيق" هو ​​أمر مضلل. من الأصح القول إن الحل لا يمكن التعبير عنه بشكل محدد في بعض الرموز.

هناك نظريات مثل نظرية بيكار ليندلوف التي تضمن وجود حلول لبعض المعادلات التفاضلية ، ولكن هذه النظريات لا تؤدي إلى تعبيرات محدودة باستخدام وظائف مشتركة لهذه الحلول. هناك بعض المعادلات التي يمكن حلها بشكل عام باستخدام متعدد الحدود. ومع ذلك ، فإن المعادلة البسيطة $ \ dot {x} = x $ ليست واحدة منها. تحدد هذه المعادلة الدالة الأسية (التي يمكن تعريفها أيضًا بمجموع لا نهائي). على نحو فعال ، عند استخدام $ \ exp (x) $ ، فهذا يعني فقط الحل لهذه المعادلة.

المعادلات التفاضلية الأكثر تعقيدا تتطلب وظائف جديدة أكثر - الدوال المثلثية الإهليلجية ، على سبيل المثال. هذا فقط يستمر. لا توجد قائمة منتهية من الوظائف ، حيث ستعمل مجموعات منها على حل جميع المعادلات التفاضلية. عندما يتم استخدام دالة محددة كحل لمعادلة تفاضلية بشكل عام ، فإننا نعطيها اسمًا ، ونستمر في العمل.

هذا مجال كبير للدراسة في الحلول الرسمية لأي نوع من المعادلات:

http://mathworld.wolfram.com/Closed-FormSolution.html

13
وأضاف

لماذا تتوقع أن يكون هناك حل؟ إذا كنت مجرد التفكير في PDEs عشوائية معقدة ، ومعظمهم ليس لديهم حلول "لطيفة" ، فلماذا تكون ذرة متعددة الإلكترون خاصة جدا؟ أظن أنك تبحث عن نوع من الإجابة قد لا يكون موجودًا للسؤال المطروح. الجواب الأكثر حرفية هو مجرد حقيقة القوة الغاشمة التي يبدو أنها لا توجد حلول لطيفة (على الرغم من أنه ربما يوما ما سيجد شخص آخر حل لطيف).

إذا كنت تريد الحصول على متموج يدويًا ، فيمكنك أن تقول أن PDE "معقد جدًا" ، وأشر إلى الجزء الذي ، إذا تمت إزالته ، سيؤدي إلى معادلة قابلة للحل (تفاعلات الإلكترون الإلكتروني). ومع ذلك ، هناك أيضًا العديد من المعادلات "البسيطة" التي لا تحتوي أيضًا على حلول "لطيفة" ، مثل الخطية البسيطة المحتملة $ V \ {x \} = x $ (الحلول هي الوظائف غير اللطيفة) ، يمكن القول "أبسط" بكثير من المذبذب التوافقي أو إمكانات ذرة واحدة. لذا ، أود أن أتجنب التوضيحات المائلة يدويًا هنا.

6
وأضاف

تسري مسألة ما إذا كان هناك حل تحليلي لنظام ديناميكي معين أو PDE تحت اسم " integrability ". هذا هو مفهوم زلق ، مع بعض الأفكار الثمينة المفيدة والقوية. ومع ذلك ، هناك نتيجة مهمة للغاية (ذات صلة وثيقة بالموضوع الحالي) في هذا المجال: The KAM Theorem .

إحدى النتائج المترتبة على نظرية KAM هي أنه بشكل عام ، يمكن للمشكلة الكلاسيكية الثلاث أن تظهر السلوك الفوضوي . يمكن تفسير ذلك على أنه نوع من "البرهان" على أن المشكلة الكلاسيكية الثلاثة للجسم ليس لها حل تحليلي عام بأي معنى مفيد - أي. انها ليست متكاملة. السبب وراء هذا التفسير هو أن أي صيغة يمكنك كتابتها يجب أن يكون لها "تعقيد محدود" ، لأن حقيقة أنك تستطيع كتابتها تتطلب ذلك ؛ ومع ذلك ، لتحديد حركة نظام الفوضى ، تحتاج إلى "معلومات لانهائية" ، لأنه حتى اضطراب صغير بشكل تعسفي لحالة النظام ينتج انحرافات برية في المسار. هذا ليس "دليلا" بالمعنى الدقيق المعتاد ، لأنه لا يوجد أحد لديه تعريف جيد حقا لما يعنيه أن يكون "حل تحليلي". ولكن يمكنك أن تكون متأكدًا تمامًا من أنه مهما كان تعريف "الحل التحليلي" ، فيمكنك أن تطبخ ، فلن يكون هناك حل لمشكلة الثلاثة الأساسية الكلاسيكية $ ^ * $.

الآن لا يمكن أن تكون الحالة الكمومية أفضل من الحالة الكلاسيكية ، لأنه في الحد الكلاسيكي (أي الكتل الكبيرة والأعداد الكمومية ، تأخذ قيم التوقع ، وما إلى ذلك) ، فإنك تستعيد السلوك الكلاسيكي. ومن ثم ، فإن "البرهان" على أنه لا يوجد حل تحليلي لمشكلة الجسم الثلاثي الكلاسيكية ينطوي على نفس الشيء بالنسبة لمشكلة الكم الثلاثي الجسد ، أي ذرة هيليوم.


* لاحظ أن هناك بعض الحالات الخاصة (المقابلة لنسب الكتلة الخاصة) لمشكلة الجسم الثلاثة التي تسمح بالحلول التحليلية. انظر "ميكانيكا الكلاسيكية" غولدشتاين لمزيد من التفاصيل. لا أعرف ما إذا كانت هناك حالات خاصة مشابهة لذرة هيليوم قابلة للحل ، وسأكون مهتمًا للغاية بمعرفة ما إذا كان لدى أي شخص تفاصيل.

5
وأضاف
الحالة الأرضية لذرة الهيليوم قابلة للحل في الميكانيكا الكلاسيكية.
وأضاف المؤلف Joshua, مصدر
هل يعني ذلك ضمناً أن الفوضى لا تعني حلًا تحليليًا؟ هناك العديد من الأمثلة على برامج PDE بسيطة للغاية والتي تعرض الفوضى ورقة ذات صلة
وأضاف المؤلف Frank Wang, مصدر

وتتمثل إحدى طرق معالجة هذه المشكلة في اعتبار التوسعات من السلسلة عالية الاستخدام واستخدامها في دراسة الخصائص التحليلية للوظيفة الدقيقة باستخدام مثال. طرق الإكتمال. في حالة ذرة هيليوم ، تضرب مصطلح التفاعل بعامل $ g وتدرس توسعة السلسلة في صلاحيات $ g $.

مع المصطلحات الكافية ، يمكن العثور على القطبين ونقاط التفرع للوظيفة في المستوى المعقد إلى تقريب جيد ، وهذا يعطيك دلائل حول ما إذا كان التركيب العالمي لهذه المفردات متوافقًا مع تعبير محدود يتضمن وظائف تحليلية عشوائية. استخدم Rodney Baxter هذه الأساليب لمجادلة أن بعض الموديلات في الميكانيكا الإحصائية ليست قابلة للحل تمامًا.

Another way is to apply the differential approximant method to the series expansion. Here you write down a general inhomogeneous linear differential equation with polynomial coefficients for some finite order and and degrees of the polynomials with undetermined coefficients and solve for the coefficients that make the series expansion a solution. An exact solution then shows up as a differential equation of which the coefficients are determined by the first $N$ coefficients of the series expansion, but such that the series expansion with $M>N$ terms continues to satisfy that differential equation.

إن الدوال التي تمثل حلولًا لمحاولات تفاضلية خطية غير متجانسة غير متجانسة مع معاملات متعددة الحدود تسمى وظائف D-finite ، ولكن ليست كل الوظائف التحليلية هي D-finite (على سبيل المثال ، وظائف Gamma ليست D-finite). إذن ، هذه الطريقة ليست قوية مثل الطريقة السابقة ، ولكن يمكن للمرء أن يعمم هذه الطريقة لمعرفة ما إذا كانت إحدى الدوال تنتمي إلى الفئة الأكبر من الدالة الجبرية التفاضلية ، انظر على سبيل المثال هنا لمثل هذه الدراسة.

3
وأضاف

أنا متأكد من أن سؤالك في الواقع يتعلق بالرياضيات أكثر من الفيزياء.

النموذج التقليدي لهيوم هيليوم ليس له حل مغلق. إنها مثال على مشكلة الجسد الثلاثة . (هذا ليس صحيحًا تمامًا - يمكن حل تكوين الحد الأدنى للطاقة في الفيزياء الكلاسيكية.)

توجد أحيانًا المحاليل الكلاسيكية لمدارات الذرة كسلسلة من القوى ، ولكن الرياضيات تعمل بحيث يكون المدار القابل للحل محتملًا صفرًا ؛ ومع ذلك فإن التداخل الكمي الموجي قد يسمح لها بأن تكون هي التي يتم اختيارها على أي حال. سيكون مسار الهجوم للحصول على حلول شكل مغلق للمدارات هو تطبيق معادلة شرودنجر على الشكل الكلاسيكي لجميع مستويات الطاقة. (معظم المدارات لا تتكرر حتى تضطر إلى استخدام معادلة شرودنجر المعتمدة على الوقت هنا.)

ومع ذلك ، سيكون عليك دمج شكل الموجة للحصول على وظيفة احتمالية ، وستبدأ من شيء يكون بالفعل سلسلة طاقة. النظرية الرياضية: إذا كانت الوظيفة غير موجودة في شكل مغلق ، لا تتكامل هذه الوظيفة.

أنا متأكد من أن شخص ما سيقول لي إنه لا يمكنك استخدام الميكانيكا المدارية للتعامل مع الإلكترونات حول الذرة. في الحقيقة يمكنك ذلك ، لكن هناك مفاجأة. هناك أربع مدارات في أي مستوى معين لأي مستوى طاقة معين ، باستثناء المستوى الأدنى الذي يوجد به اثنان فقط. ويرجع ذلك إلى أن طاقة السرعة المدارية أصبحت قابلة للمقارنة مع طاقة الطاقة على النطاق الذري. يقع عمود المركز في + INF بدلاً من -INF لكائن مداري. لا يمكننا عادة ملاحظة هذا التأثير.

لم أكن قد تضايقت لمعرفة ما إذا كان عدد درجات الحرية التي تسمح بها المدارات الرنانة في ثلاثة أبعاد يتفق مع عدد درجات الحرية في الحلول الكمية للذرة. لا أستطيع الخروج مع سبب واحد للرعاية.

2
وأضاف

أكبر مشكلة لكثير من أنظمة الإلكترونات هي أنه عليك التعامل مع الارتباط. وهذا يعني أن سلوك الإلكترون لا يمكن التقاطه بواسطة مدار واحد. بدلا من ذلك العديد من ما يسمى محددات سلاتر يشكلون وظيفة الموجة.

ومع ذلك فقد ابتكر الكيميائيون الكميون طرقًا لحل معادلة شرودنغر وديراك بدقة عالية للذرات والجزيئات. الحلول ليست في شكل مغلق ولكنها توسعات من محددات Slater شيدت من وظائف الأساس الغوسي.

الحلول الدقيقة متوفرة فقط لأبسط الأنظمة. بالنسبة للذرات ، يكون السبب هو ارتباط e-e وكذلك التأثيرات الإشعاعية ، التي تتطلب QFT. بالنسبة للأنظمة الأكثر تعقيدًا ، يتم إضافة تعقيدات الحركة النووية.

1
وأضاف
هذا رد فعل غريب: يجب على جوابي أن أكرر ما كتبناه بالفعل في العديد من الأماكن. سأضيف وجهة نظري حول نقطتك الثانية.
وأضاف المؤلف my2cts, مصدر
من دواعي سروري. النظر في كيمياء الكم ، قد يفاجأ!
وأضاف المؤلف my2cts, مصدر
كان من الممكن أن تكون إجابة رائعة ولكن لحقيقة أنها تكرر بشكل رئيسي ، ما هو مكتوب بالفعل في الكثير من الأماكن - لا يزال لا يعالج مسألة ما إذا كان غير قابل للحل بشكل أساسي أو ما إذا كان فقط قيود على معرفتنا الحالية للرياضيات.
وأضاف المؤلف Devashish Kaushik, مصدر
أيضا ، لا أرى ما تقصد به أنه لا يمكن وصفه كمدارة واحدة ، ما لم تقصد أن التعبير عن إلكترون واحد ينطوي على بيانات للأخرى ، لا يمكننا فصلها ، وفي هذه الحالة أحصل عليها ولكنها تحتاج إلى توضيح حول ما إذا كان ذلك يعني عدم وجود حل دقيق (وما إذا كان هناك دليل على ذلك).
وأضاف المؤلف Devashish Kaushik, مصدر
آسف إذا بدا الأمر من اللون الأزرق ، لكن النقطة الثانية كانت فحوى سؤالي [وشكرا لتحمل المتاعب للإجابة :-)]
وأضاف المؤلف Devashish Kaushik, مصدر