نظرية Noether ، الطاقة ووقت الثبات

لقد درست الفيزياء في المدرسة الثانوية ، لكن لديّ فقط نوع من فهم الأفكار المنبثقة عن أفكار مثل نظرية نوثر ، لذلك سهلا.

بقدر ما أعرف ، تنص نظرية Noether ببساطة على أن أي نوع من التماثل لنظام مادي يرافقه كمية محفوظة معينة.

المثال الطبيعي لذلك هو أنه إذا أخذنا في الاعتبار أن النظام يكون متماثلًا مع الزمن (القوانين التي تحكم النظام هي نفسها في جميع الأوقات) ، عندها يتم حفظ الطاقة. ومع ذلك ، من المفترض أن تكون أمثلة على أنظمة لا يتم حفظ الطاقة فيها ، مما يعني أن القوانين التي تحكم النظام ليست متماثلة.

مشكلتي مع هذه الفكرة هي أن القوانين ليست متماثلة مع مرور الوقت. ماذا يعني ذلك فعلا؟ هل هذا يعني أن القوانين تتغير حرفيا بمرور الوقت؟ أليس الافتراض الأساسي في دراسة الفيزياء هو أن القوانين التي تحكم الكون لا تتغير أبداً؟ إذا وجدنا أنظمة تتغير فيها القوانين ، فكيف يمكننا دراسة القوانين؟

أعتقد أن ارتيابي هنا هو سوء فهم لما يعنيه أن يكون النظام متناظرًا مع الوقت ، ولكنه ربما يكون شيئًا آخر. شكرا على أي إجابات.

2

6 إجابة

إنها مشاركة أكثر بقليل مما تقول لأن الكائن الذي يمتلك التناظر هو action للنظام. يتم اشتقاق المعادلات التي تصف الحركة ، أي قوانين الفيزياء لهذا النظام من هذا الإجراء باستخدام معادلة أويلر-لاغرانج .

لكن يمكننا وصف مثال بسيط للغاية. لنفترض أنك في سفينة الفضاء الخاصة بك وتخطط لطيران من كائن كبير مثل. الشمس. تبدأ بعيدًا عن الشمس مع بعض السرعة $ v $ ، وتسارع جاذبية الشمس إلى الداخل مع المعادلة النيوتونية المعتادة للجاذبية:

$$ F = \ frac {GMm} {r ^ 2} $$

أنت تتأرجح نحو الشمس ، تتسارع كما تذهب ، ثم عندما تبتعد عن الشمس مرة أخرى ، فإن جاذبيتك تبطئك إلى الخلف وتغادر بنفس السرعة $ v التي بدأت بها. الطاقة الحركية الخاصة بك لم تتغير.

ومع ذلك ، لنفترض أنه تبين أن مبلغ $ G $ الدائم من نيوتن يعتمد في الواقع على الوقت ويتناقص مع الوقت:

$$ F (t) = \ frac {G (t) Mm} {r ^ 2} $$

وهذا يعني أن $ G $ ، وبالتالي القوة ، أقل لرحلتك إلى الخارج من رحلتك الداخلية. يتم تباطؤك أقل في رحلتك الخارجية وتغادر بمزيد من الطاقة مما كنت قد بدأت. لم يتم الحفاظ على الطاقة ، وهو الاعتماد على $ G $ للوقت المسؤول.

5
وأضاف
ليس مثالًا جيدًا ، حيث كان السؤال هو تقديم مثال على عدم حفظ الطاقة دون تغيير قوانين الطبيعة بمرور الوقت. هناك الكثير من هذه الأمثلة بدءا من توسع الكون.
وأضاف المؤلف Costin, مصدر

عندما ننظر إلى نظام فعلي ، فإن البيئة تشير إلى كل شيء آخر هو لا جزء من النظام.

في حين أن النظام يحتوي على متغيرات ديناميكية ، والتي نحاول حلها ، يتم افتراض المتغيرات البيئية.

غالباً ما يحدث أن النظام غير معزول ، والقوى الخارجية من البيئة تعمل على النظام. إذا كانت البيئة تتغير ، فستكتسب هذه القوى عادة اعتمادًا واضحًا على الوقت.

Example: Let the physical system be a child on a swing. The environment may e.g. be a parent pushing the swing in a time-dependent fashion. The energy of the child needs not be conserved.

3
وأضاف
لذلك لا يتم حفظ الطاقة في نظام مفتوح. هذا ليس ما كان عليه السؤال.
وأضاف المؤلف Costin, مصدر

أبسط والأكثر شيوعا النظام غير متناظرة بسبب تحول الزمن هو ببساطة أي نظام ميكانيكي مع تبديد. على سبيل المثال ، طوبان يتحركان على الآخر مع الاحتكاك. في مثل هذه الظروف ، يتم تبديد جزء من الطاقة للتدفئة ، والتي لا تؤخذ بعين الاعتبار في الوصف الميكانيكي المثالي البحت. إن النظام ككل يحافظ على الطاقة ، ولكن الجزء الميكانيكي (الموصوف من خلال الميكانيكا الكلاسيكية ، التي تنطوي على إجراء ، لاغرانج ، معادلات جاكوبي الخ) لا يحتوي على جزء من الوصف الذي يجب حمله عن طريق الديناميكا الحرارية. في هذه الحالة لا يعمل نظرية Noether. ليست هناك حاجة للنسبية العامة الكمية لفهم هذا المثال ، وفي الحقيقة أقترح التركيز بدلاً من ذلك على نظامين من الطوب لفهم هذه الأشياء.

3
وأضاف
وبطبيعة الحال ، حتى في العنوان المذكور أعلاه - يرجى قراءة الجملتين الثالثة والرابعة أعلاه مرة أخرى. ولكن هذا هو بالضبط سبب ظهور التأثير. لا يمكنك إعطاء مثال للأنظمة المادية المغلقة ، التي وصفتها ميكانيكا لاغرانج ، والطاقة غير المحفوظة. هل تستطيع؟
وأضاف المؤلف Daniel, مصدر
إذاً ، في الأساس ، هل تفكر في النظام مع تناسق زمني لإحدى العمليات ، التي تم وصفها بالكامل بواسطة هذا الإجراء ، وعدم وجود حركة ثابتة تتعلق بهذا التناظر؟ في هذه الحالة ، تتوقع الحصول على مثال مضاد لنظرية Noether. سيكون خبرًا رائعًا ...
وأضاف المؤلف Daniel, مصدر
هذا غير صحيح. تنطبق نظرية Noether ، فضلاً عن قانون الحفاظ على الطاقة ، على الأنظمة المغلقة. المثال الخاص بك ليس نظامًا مغلقًا وغير قابل للتطبيق هنا. إذا قمت بإغلاق نظامك المكون من طابقين ، على سبيل المثال ، من خلال معالجة الحرارة كطاقة محتملة أو كحركة جزيئية ميكانيكية ، فإن نظرية Noether ستعمل على ما يرام.
وأضاف المؤلف Costin, مصدر
انا اؤمن انك تستطيع. يمكنني أن أفكر في 3 شروط مطلوبة لتحقيق ذلك: الزمكان منحني ، النظام ليس ثابتًا ، والحركة ليست قابلة للعكس. يجب أن يمتثل مقياس FLRW. هل يحافظ على الطاقة؟ إنه أمر قابل للنقاش ، لكن الإجماع هو أنه لا يحدث منذ أن فقدت الطاقة بسبب الانزياح نحو الأحمر ، ولا يمكن استرداده ، لأن الحركة لا يمكن عكسها. على الرغم من أن علاقة التماثل بين الطاقة الزمنية تبقى (تقارن فورير) وتبقى الطاقة شحنة Noether ، إلا أنها لا تحافظ عليها.
وأضاف المؤلف Costin, مصدر
استغرق الأمر مني دقيقة لأرى أين يأتي الارتباك ، إنه من بياني أن " تظل علاقة التماثل بين الطاقين والطاقة ". ولا يشير ذلك إلى تناظر الترجمة الزمني ، بل إلى تناظر الوقت والطاقة كونه يقارن فورير سواء وجد التناظر الزمني في الترجمة أم لا. بعبارة أخرى ، الطاقة عبارة عن شحن نوتر مرتبط بالوقت سواء حفظت الطاقة أم لا. على سبيل المثال ، لا تزال طاقة الفوتون عكسية متناسبة مع الفترة الزمنية لتذبذب EM ، حتى إذا فقدت الطاقة إلى الانزياح الأحمر مع عدم وجود تناظر زمني في المكان.
وأضاف المؤلف Costin, مصدر

هناك مثال رائع يبين تأثير نظرية Noether: عدم الحفاظ على الطاقة في النسبية العامة. إنه يتطلب في الواقع فهم هذه النظرية ولكن من الواضح أنه مفيد للغاية كحالة للتظاهر. تقول نظرية نوثر (من بين أمور أخرى) أنه إذا كان في نظام مادي فإن الترجمة في الوقت المناسب (كل لحظة في الوقت تعادل أي أخرى) لا يغير النظام ، عندئذ يتم الحفاظ على الطاقة في هذا النظام. وهو يعمل لملايين الحالات ، ولكن ليس للجاذبية في نظر نظرية أينشتاين.

لم يعد مجال الجاذبية ثابتًا في ظل الترجمات في الوقت المناسب نظرًا لأن مجال الجاذبية يعتبر انحناءًا للزمان الزماني ، لذا فإن الفراغ والزمان بشكل عام منحنيان ، خاصةً أن الانحناء يمكن أن يتغير بمرور الوقت. لذلك ، لم تعد لحظات الزمن متكافئة حقاً. إذن فإن نظرية نوثير تخبرنا أن الطاقة ليست بالضرورة محفوظة.

قد تكون هذه نتيجة صادمة نوعًا ما ، ولكن يمكن إثباتها بسهولة بطريقة أخرى: من خلال تحويل الإحداثي يمكن أن يكون تأثير الجاذبية محليا "بعيدًا" أي محيًا محليًا ، لذلك إذا كان في أحد أنظمة الإحداثيّة ميزانية للطاقة (بما في ذلك طاقة الجاذبية ) من النظام الذي تم إعداده ، في النظام الآخر ، حيث يتم تحويل تأثير الجاذبية محليًا "بعيدًا" ، فقد ذهبت طاقة الجاذبية أيضًا (لذا لا يوجد حفظ للطاقة الكلية). هذا هو النتيجة النهائية لمبدأ التكافؤ.

1
وأضاف
في حين أن هذا صحيح ، في جميع الحالات تقريبا هذا التأثير هو renormalizable عن طريق إدخال "طاقة الجاذبية الكامنة" لأي عملية عكسها في أي وقت. التأثير الحقيقي الوحيد لعدم الحفظ هذا هو عندما لا يمكن عكس العملية في الوقت المناسب ، مثل توسع الكون. حتى في هذه الحالة تظل الطاقة هي الشحنة النترية ، التي لا يتم حفظها ، لأننا لا نستطيع إدخال الطاقة الكامنة العالمية للكون بسبب عدم التوسعة.
وأضاف المؤلف Costin, مصدر

مشكلتي هي أن هذه القوانين ليست متماثلة مع مرور الوقت. ماذا يعني هذا حقًا؟

من المفترض أن تعني أن وظيفة Lagrangian ، التي تشفر التفاعلات بين درجات مختلفة من حرية النظام والبيئة ، لا تعتمد صراحة في الوقت المناسب. هذا هو الحال غالبا ويمكن للمرء أن ينظر إليه على أنه بفضل حقيقة أن القوانين المادية الأساسية للحركة والتفاعل بين الأجسام لا تتغير في الوقت المناسب. على سبيل المثال ، يمكن كتابة Lagrangian من جسم يدور حول الأرض باسم

$$ L = \ frac {1} {2} m (v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2) + \ frac {GMm} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}}. $$ حقيقة أن الجاذبية لا تتغير في الوقت الذي يعني أن $ G $ لا تتغير في الوقت المناسب ؛ إنه ثابت ، وهو نفس الرقم في أي وقت نستخدم فيه الصيغة. إذا تغيرت الجاذبية في الوقت المناسب ، فإن لاغرانج أعلاه لن ينجح. واحد آخر ، حيث يعتمد جزء ما على الوقت يمكن أن يعمل.

ولكن قد يكون هناك سبب آخر لظهور الوقت في لاغرانج.

على سبيل المثال ، يمكن تصميم الجسيمات التي يتم التصرف عليها بواسطة موجة EM بواسطة نموذج Lagrangian من النوع

$$ L (x، \ dot x) = \ frac {1} {2} m \ dot x ^ 2 + q x E_0 \ sin (\ Omega t). $$

هناك مصطلح يعتمد على الوقت بسبب موجة EM التوافقية ، لأن الموجة تُعطى كعملية في الوقت المناسب. ولكن لا شيء ينطوي على أي شيء حول القوانين الفيزيائية للنظرية المتغيرة في الوقت المناسب.

1
وأضاف
كاكاز ، ربما أنت على حق. هل لديك بعض الأمثلة حيث يعتمد Lagrangian غير trivially في الوقت المناسب (بطريقة غير ممكن للقضاء عن طريق طرح وظيفة من الوقت والإحداثيات) ، ولكن لا يزال العمل لا يعتمد على الوقت؟
وأضاف المؤلف Ján Lalinský, مصدر
إنه بسيط غير صحيح. التناظر مع مرور الوقت ، يعني بالضبط ما يقال: عند تغيير الوقت ، لا يتغير العمل الوظيفي. هو أبعد ما يكون عن القول أن لاغرانج لا يعتمد على الوقت! Lagrangian مستقلة في الوقت المحدد هو مجرد مثال معين ، ولكن يمكن أن يكون ، بشكل عام. لا سيما أن الإجراء المتكامل مع مرور الوقت من الممكن إلغاء المصطلحات الحدودية ، حتى لو احتوت Lagrangian بشكل صريح على الدالة t. فكر فيه كمجموعة متناسقة من التماثل ، تمامًا مثل التناظر المستمر للترجمة ، ولكن فقط في t.
وأضاف المؤلف Daniel, مصدر
انه ليس من السهل. أولا ، إذا كان لاغرانج لا يعتمد بشكل صريح على الوقت ، فإن الأمر نفسه ينطبق على معادلات الاقتراحات. يسمى هذا النوع من المعادلات الذاتية. حتى إذا كنا نبحث عن سبيل المثال ، ينبغي أن يكون النظام غير المستقل لل Pde. ثانياً ، من الصعب القول ما إذا كانت الكميات المحفوظة لهذه الأنظمة ، يمكن أن تُسمى الطاقة أو الزخم ، ومع ذلك قد تكون مرتبطة بمجموعات كذب مختلفة من التماثل ، والتي تعطي لنا الأنظمة المستقلة مثل هذه الثوابت. وبعبارة أخرى ، نحن نتحدث عن تعميم جريء.
وأضاف المؤلف Daniel, مصدر
مثال صريح على مثل هذا النظام وثابتة ، قد تجد في نهاية هذا البحث: fismat.unizar.es/~jfc/pdfs/pub62.pdf كما قد ترى ، ومن المتوقع على الأرجح ، من الصعب أن تقرأ .. ربما ملاحظة مهمة أخرى هنا هي أنه إذا قمنا باستبدال oryginal ، فإن الوقت Lagrangian مستقلة ، من خلال £ '= £ + π حيث π هو مشتق زمني كامل لبعض الوظائف (p ، q ، t) ، ثم لا يتغير عمل التكامل ، لذلك ربما عن طريق خدعة ذكية ، يمكنك إنتاج Lagrangian تعتمد على الوقت الذي سيكون في الواقع نوع من مثال وهمية ...
وأضاف المؤلف Daniel, مصدر

ﻧﻌم ، اﻧﺗﮭﺎك ﺗﻧﺎﺳق اﻟﻘواﻧﯾن ﻓﻲ اﻟوﻗت اﻟﻣﻧﺎﺳب (ﺗوﻗﯾت اﻟﺗرﺟﻣﺔ اﻟزﻣﻧﯾﺔ) ﯾﻌﻧﻲ ﺑﺎﻟﻔﻌل أن اﻟﻘواﻧﯾن ﻟﯾﺳت ﻧﻔﺳﮭﺎ ﻓﻲ أوﻗﺎت ﻣﺧﺗﻟﻔﺔ

في حين أنه من الشائع في الفيزياء أن نفترض أن القوانين ثابتة في الوقت المناسب ، لا يجب أن يكون هذا هو الحال من حيث المبدأ. إذا تغيرت القوانين بطرق معينة ، لا يزال بإمكاننا وصف القوانين وحساب نتائجها ومن ثم القيام بالعلوم.

أعطى جون ريني مثالاً جيدًا على هذا الوضع - إذا كان قانون الجاذبية العالمي لنيوتن يقرأ بالفعل $ F = G (1 + t) \ frac {m_1 m2} {r ^ 2} $ ، مع $ t $ الوقت منذ الانفجار الكبير (مثلا) ، سيكون لدينا قانون فيزياء محدد جدا ويمكننا تحديد عواقبه واختبارها ضد التجارب وما إلى ذلك. يمكن أن نفعل الفيزياء ، على الرغم من أن القانون ليس ثابتًا.

الآن ، الأمور معقدة بعض الشيء في النسبية العامة. في GR ، ما هو "الوقت" هو دقيق بعض الشيء حتى ينتهي بك الأمر بنظرية لا تعتمد قوانينها الأساسية صراحةً على الوقت (مثل $ t $ أعلاه) ، ولكنها لا تزال تسمح بتغير القوانين الفعالة في الوقت المناسب عندما تكون المساحة يزداد. والنتيجة هي نوع من الفوضى بشأن ما إذا كانت الطاقة أو لا يتم حفظها. يعتمد ذلك على ما تعرّفه بـ "الطاقة" ، وهو جيد.

0
وأضاف